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OpenAI API Key是一种用于访问OpenAI API的身份验证凭证。 它充当您与OpenAI API进行通信的凭证。
API密钥是一个长字符串，类似于密码，它确保只有持有有效密钥的用户才能使用OpenAI API。您需要将API密钥包含在每个API请求中，以便OpenAI可以验证您的身份并授权您的访问权限。
使用OpenAI API密钥，您可以通过发送HTTP请求来与API进行通信，并获取来自模型的响应。您可以使用各种编程语言和工具来访问API，根据您的需求进行文本生成、对话交互、语言翻译等任务。通过使用OpenAI API，您可以为您的用户提供更智能、更自然的交互体验。无论是构建聊天机器人、智能助手、自动化客服系统，还是开发创新的语言应用，OpenAI API都能为您提供强大的支持。
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OpenAI API 具体费用和计费方式可以在OpenAI的官方网站上找到。同时，OpenAI也提供了一些示例代码和文档，以帮助您更好地理解和使用API。 此网站对话页面聊天栏目的 \(\mathrm{Apikey }\) 采用我自己的， 我每个月会充入 5-10 美元的 \(\mathrm{Apikey }\) 余额，最多 15 美元，我贡献的
\(\mathrm{ApiKey }\) 大约可以一问一答7000-17000次。请大家尽量节约使用，谢谢配合。
\[\]
网站提供个人独享免费的 ApiKey, 但是您需要使用 LaTeX 码字回答几个问题，并且在最下方留言板提交。 说明：邮箱务必留下你自己的edu邮箱，实在木有可以留下qq邮箱。其他不支持，请您注意。
主题填写答题卡，内容填写你的 LaTeX 代码，注意码清楚题号。
题目如下:
问题一: 证明:
\[\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n \frac {z_j\bar{z_k }}{1+|x_j-x_k |^2} \geq 0 . \]其中对于 \(m\in \mathbb N_+, m \leq n \), 有 \(x_m\in\mathbb R, z_m \in \mathbb C \).
问题二:
假设黎曼可积函数 $f$ 有 Fourier 级数
$$
f(x) = \sum_{ n=-\infty }^{\infty } a_{n} e^{i n x}
$$
并且 $a_{n}$ 满足
$$
\left|n a_{n}\right| \leq C \ \ \ C>0.
$$
证明对任意正整数 $N$ 均有
$$
\left|\sum_{|n| \leq N} a_{n} e^{i n x}\right| \leq \sup |f|+$$ $$\ \ \ \left (2- \ln( N+2 ) + \ln (N+1 ) \right ) C .
$$
其中 \(\sup |f| \) 表示 \(|f| \) 的最大值.
问题三:
设 \( f,g\in L^2 ( \mathbb R ) \), 证明 \[ \left | \iint_{\mathbb R^2 }\hat f(x) g(y)e^{-\pi (x^2+y^2 )}dxdy \right | \]\[ \leq\frac {\sqrt 2 } 2 \| f \|_{ L^2 (\mathbb R )} \| g \|_{ L^2 (\mathbb R )}. \]其中
\( \hat f\) 表示函数 \(f\) 的 Fourier 变换.
问题四: 证明不存在函数 \( I \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \) 使得对于所有 \( f \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{n} \right) \), 有
\(f * I=f\) 成立.
问题五：
如果 \(f(z)\) 是单位圆盘 \(\mathbb{D}\) 上的解析函数, 满足 \(f(\mathbb{D}) \subset \mathbb{D}\), 且 \(f(0)=f^{\prime}(0)=0\),
证明 \[|f(z)| \leq \left|z^2\right|
\]
以及
\[\left|f^{\prime \prime}(0)\right| \leq2.
\]
问题六:
设 \(\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})\) 并且 \(\int_{\mathbb{R}}|\varphi|^{2} d x=1
{ }
\), 证明
$$
\int_{\mathbb{R}}|x \varphi(x)|^{2} d x \int_{\mathbb{R}} \xi^{2}|\hat{\varphi}(\xi)|^{2} d \xi
\geq \frac{1}{16 \pi^{2}}
$$
\[\] \[\]
为了防止网站的共享apikey余额用光，我在这里额外贡献6个我的备用的ApiKey，请不要滥用或者拿去自用，谢谢配合。网站内所有的这些 ApiKey 总计充入 96 美元(包括系统内置的默认 api key )，其中余额还有 10 美元, 过期 86 美元。
2023:
2024: